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Benjamin Heimann Komplexe Zahlen mit einer Anwendung in der Elektrizitätslehre Facharbeit im Fach Mathematik 27

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Benjamin Heimann
Komplexe Zahlen
mit einer Anwendung in der Elektrizitätslehre
Facharbeit im Fach Mathematik

27. Januar 2018
Helmholtz-Gymnasium Bonn
Inhaltsverzeichnis
TOC o “1-3” h z u 1. EinleitungPAGEREF _Toc6436 h32. DefinitionPAGEREF _Toc6437 h42.1 RückblickPAGEREF _Toc6438 h42.2 Imaginären ZahlenPAGEREF _Toc6439 h42.2.1 Potenzen von iPAGEREF _Toc6440 h52.3 Komplexe ZahlenPAGEREF _Toc6441 h53. ZusammenfassungPAGEREF _Toc6442 h64. Abschließende BewertungPAGEREF _Toc6443 h7LiteraturPAGEREF _Toc6444 h8SelbstständigkeitserklärungPAGEREF _Toc6445 h9

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EinleitungKomplexe Zahlen werden eigentlich nicht in der Schule behandelt, denn sie sind, zumindest in Nordrhein-Westfalen, nicht Teil des Lehrplans Mathematik der gymnasialen Oberstufe.

Ziel der Facharbeit ist, eine verständliche Einführung in die Komplexen Zahlen zu bieten, die sich an Schüler der gymnasialen Oberstufe richtet, die sich dennoch für dieses Thema interessieren. Denn obwohl Komplexe Zahlen ein abstraktes Thema darstellen, gibt es durchaus bei einigen Schülern Interesse für derartige Themen.

Ich werde zuerst die imaginären Zahlen und die Verbindung dieser mit den reellen Zahlen in Form von komplexen Zahlen vorstellen und definieren und ihre Bedeutung darstellen. Außerdem werde ich die Eigenschaften der komplexen Zahlen als Körper beschreiben. Dann gehe ich auf die Darstellungsmöglichkeiten der Komplexen Zahlen ein und zeige, wie man mit ihnen rechnet und welche Vereinfachungen es diesbezüglich gibt. Ich werde dann an einem Beispiel in der Elektrizitätslehre (Schwingungen) aufzeigen, welche Anwendungsmöglichkeiten es in der Praxis für die Komplexen Zahlen gibt.

Teil dieser Facharbeit ist schließlich außerdem eine Unterrichtsstunde Mathematik, in der ich Schüler der Qualifikationsphase 1 der Oberstufe in die Komplexen Zahlen einführe. In dieser Stunde versuche ich, den Schülern die Inhalte der Facharbeit anschaulich und mit verschiedenen didaktischen Ansätzen zu erläutern. Das Protokoll mit der Planung dieser Unterrichtsstunde ist als Anhang angehängt.

– 4 –
DefinitionRückblickIn der Vergangenheit musste der Zahlenbereich immer wieder erweitert werden, um alle Aufgaben lösen zu können. So rechnet man anfangs in der Grundschule noch mit dem Zahlenbereich der natürlichen Zahlen N. In diesem kann man allerdings keine negativen Ergebnisse berechnen. Dieser Zahlenbereich wird schnell von den ganzen Zahlen Z abgelöst, die N um negative (ganze) Zahlen erweitern. Damit lässt sich nun auch mit negativen Zahlen rechnen. Erweitert man den Zahlenraum auf die rationalen Zahlen Q, lassen sich auch Divisionen ohne Rest durchführen, es lassen sich Brüche schreiben. Die letzte bekannte Erweiterung des Zahlenraums sind die reellen Zahlen R, in denen nun auch irrationale Zahlen wie ? oder e vorkommen. Die kontinuierliche Erweiterung des Zahlenbereiches, mit dem Anfang bei den natürlichen Zahlen, ist auf der Abbildung des Deckblatts anschaulich dargestellt.

Doch einige Dinge lassen sich in R immer noch nicht lösen, wie zum Beispiel das Ziehen von negativen Wurzeln. Das erscheint logisch, da es keine Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl ergibt. Um diese Aufgabe lösen zu können, muss der Zahlenraum erneut erweitert werden.

Imaginären Zahlen?
Was geschieht nun, wenn man nichtsdestotrotz annimmt, ?1 wäre lösbar? Man erschafft eine neue Art von Zahl, die nicht mit den reellen Zahlen vergleichbar ist und dessen Beschaffenheit man sich kaum vorstellen kann. Dies sind die imaginären Zahlen. Um den Unterschied zu den herkömmlichen reellen Zahlen deutlich zu machen, kennzeichnet man imaginäre Zahlen mit der imaginären Einheit i, wobei gilt:
?

i = ?1.(2.1)
Da eine Wurzel immer ein positives und ein negatives Ergebnis hat und (mit nur der obigen Definition) Verwechslungen aufkommen können, ist die folgende Definition präziser:4
i2 = ?1(2.2)
Man rechnet mit der Einheit i wie mit jeder gewöhnlichen anderen Einheit. Sie wird mit der vorangehenden Zahl multipliziert.

?

??

Beispiel: Die Wurzel aus -16 ist 4 i, da?16 = 16 ·?1 = 4 · i.

Multipliziert man imaginäre Zahlen miteinander, können dabei wieder reelle Zahlen ent-
1147902114001

???? stehen. Beispiel:?5 ·?20 =5 i · 20 i = ?10.

Man muss dabei beachten, dass die Einheit i immer „ausgeklammert” und getrennt behandelt werden muss, um Fehler wie in 3 zu verhindern.

Potenzen von iPotenziert man die imaginäre Einheit i, erhält man immer wieder regelmäßige Ergebnisse:

1606004279400für (nmod 4) = 1 für (nmod 4) = 2 für (nmod 4) = 3
für (nmod 4) = 0.

Teilt man die Potenz n von in durch 4 und betrachtet den Rest (mod), stellt man fest, dass das Ergebnis von in regelmäßig zwischen i, ?1, ?i und 1 wechselt. Behält man dies im Auge, ist das Rechnen mit imaginären Zahlen später einfacher.

Komplexe ZahlenInteressant wird es, wenn man die imaginären Zahlen mit den reellen Zahlen verbindet. Dann erhält man die komplexen Zahlen C, mit denen sich schließlich diese Facharbeit beschäftigt. Eine komplexe Zahl z ? C ist definiert als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl:
z = x + y · i.(2.3)
Dabei ist x der Realteil und y der Imaginärteil der Komplexen Zahl. x und y sind dabei beides reelle Zahlen. Der Imaginärteil unterscheidet sich vom Realteil lediglich dadurch, dass ihm die imaginäre Einheit i angehängt ist.

In einer komplexen Zahl lassen sich sowohl reelle Zahlen als auch imaginäre Zahlen, und auch beides in Kombination beschreiben. Ist der Imaginärteil y = 0 (und der Realteil x 6= 0), handelt es sich bei z um eine reelle Zahl. Ist dagegen der Realteil x = 0, handelt es sich bei z um eine imaginäre Zahl. Sind beide Teile x,y 6= 0, handelt es sich um eine echte komplexe
Zahl.

Komplexe Zahlen- 6 -Benjamin Heimann
ZusammenfassungAbschließende BewertungIch habe mich
mit Komplexen Zahlen auseinandergesetzt
mit didaktischen Erklärungsversuchen beschäftigt, Schülern Thema nähergebracht
Textsatzsystem Latex kennengelernt
gelernt, wie man eine wissenschaftliche Arbeit schreibt
LiteraturEmbacher, Franz (2011). “Komplexe Zahlen”. In: Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik. 2., überarbeitete Auflage. Wiesbaden: Vieweg+Teubner.

Königsberger, Konrad (1995). Analysis 1. 3. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.

Lang, Christian B. und Norbert Pucker (2016). “Komplexe Zahlen”. In: Mathematische Methoden in der Physik. 3. Auflage. Lehrbuch. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.

Marsch, Cornelius (2009). “Komplexe Zahlen in der Physik”. In: PhyDid A, Physik und Didaktik in Schule und Hochschule.

Niederdrenk-Felgner, Cornelia (2004). LS Komplexe Zahlen. Mathematisches Unterrichtswerk für Gymnasien. Stuttgart: Klett.

Schulministerium NRW (2014). Mathematik. Kernlehrplan für die Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen.

SelbstständigkeitserklärungHiermit versichere ich, dass ich die Facharbeit selbständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und alle Stellen der Facharbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen (auch aus dem Internet) stammen oder anderen Werken entnommen wurden, als solche gekennzeichnet und mit genauer Angabe der Fundstelle versehen habe.

Verwendete Informationen aus dem Internet sind dem Lehrer vollständig im Ausdruck bzw. auf elektronischem Datenträger zur Verfügung gestellt worden.

Bonn, den 5. Februar 2018
Benjamin Heimann

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